試證明，對(duì)一切x∈R都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．利用這個(gè)結(jié)果，求函數(shù)y =sin x＋cos x＋sinx· cos x的最大值和最小值．

 

答案：
解析：

要證明，只要證明：sin 2 x＋2sin x · cos x＋cos 2 x≤2，

只要證明對(duì)一切x∈R都有：2sin x · cos x≤1，

只要證明：2sin x · cos x ≤ sin 2 x＋cos 2 x，

即證明：(sin x－cos x)2 ≥0．

因?yàn)閷?duì)任意x∈R，不等式(sin x－cos x)2 ≥0總成立，且上述各步都可逆，所以對(duì)一切x∈R，都有．論證中可以看出：當(dāng)且僅當(dāng)sin x－cos x =0，即tan x =1時(shí)，不等式中的等號(hào)成立，也就是說當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（k∈Z），．

函數(shù)y =sin x · cos x＋sin x＋cos x中，把sin x用cos x表示或者把cos x用sin x表示都要出現(xiàn)根式，不便于求最大、最小值．注意到

，

則有：．

令sin x＋cos x =t，如本題所證知：．

只要考查關(guān)于t的二次函數(shù)的最大、最小值，這個(gè)二次函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一段弧，

∵ ，可見：

當(dāng)t =－1時(shí)，該函數(shù)有最小值－1；當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值．

　　   綜上分析知：

當(dāng)x =2kπ＋π或時(shí)，函數(shù)y =sin x · cos x＋sin x＋cos x有最小值－1；

當(dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f （x）是R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，并且f （x）＜0對(duì)一切x∈R成立，試判斷-
1f(x)
在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：閱讀理解

先閱讀下列不等式的證法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求證：|a1+a2|≤
2
．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，則f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
2
．
再解決下列問題：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求證|a1+a2+a3|≤
3
；
（2）試將上述命題推廣到n個(gè)實(shí)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

試證明，對(duì)一切x∈R都有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．利用這個(gè)結(jié)果，求函數(shù)y =sin x＋cos x＋sinx· cos x的最大值和最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

先閱讀下列不等式的證法：
已知a1，a2∈R，a12+a22=1，求證：|a1+a2|≤
2
．
證明：構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2，則f（x）=2x2-2（a1+a2）x+1，因?yàn)閷?duì)一切x∈R，恒有f（x）≥0，所以△=4（a1+a2）2-8≤0，故得|a1+a2|≤
2
．
再解決下列問題：
（1）若a1，a2，a3∈R，a12+a22+a32=1，求證|a1+a2+a3|≤
3
；
（2）試將上述命題推廣到n個(gè)實(shí)數(shù)，并證明你的結(jié)論．

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