已知圓的方程為x2+y2=r2,圓內(nèi)有一定點P(a,b),A,B是圓周上的兩個動點,PA⊥PB,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程.
考點:軌跡方程
專題:計算題,直線與圓
分析:設(shè)出A、B和Q的坐標(biāo),由AB與PQ的中點相同得到A、B和Q的坐標(biāo)的關(guān)系,再由
PA
PB
=0得到A、B和Q的坐標(biāo)的關(guān)系,然后結(jié)合A,B在圓上及|AB|=|PQ|列式后消掉A,B的坐標(biāo),得到關(guān)于Q的橫縱坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,則答案可求.
解答: 解:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y),又P(a,b),
則x1+x2=x+a,y1+y2=y+b,
PA
=(x1-a,y1-b),
PB
=(x2-a,y2-b).
由PA⊥PB,得
PA
PB
=0,即(x1-a)(x2-a)+(y1-b)(y2-b)=0.
整理得:x1x2+y1y2-a(x1+x2)-b(y1+y2)+a2+b2=0,
即x1x2+y1y2=ax+by     ①
又∵點A、B在圓上,∴x12+y12=x22+y22=r2,②
再由|AB|=|PQ|,得(x1-y12+(x2-y22=(x-a)2+(y-b)2
整理得:x12+y12+x22+y22-2(x1x2+y1y2)=(x-a)2+(y-b)2,③
把①②代入③得:x2+y2=2r2-a2-b2+2r2
∴矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程為:x2+y2=2r2-a2-b2
點評:本題考查了軌跡方程,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,訓(xùn)練了利用代入法求曲線的方程,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知p:ea<eb,q:lna<lnb,則p是q的( 。
A、充分不必要條件
B、必要不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求函數(shù)y=sin(x-
π
6
),x∈(-
π
2
,
π
2
)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工廠有工人1000人,其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人),另外750名工人參加過長期培訓(xùn)(稱為B類工人).現(xiàn)用分層抽樣的方法(按A類、B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人,調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處的生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)).
(1)A類工人和B類工人中各抽查多少工人?
(2)從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2.
表1
生產(chǎn)能力分組 [100,110) [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人數(shù) 4 8 x 5 3
表2
生產(chǎn)能力分組 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人數(shù) 6 y 36 18
①求x,y,再完成下列頻率分布直方圖;

②分別估計A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù),并估計該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組
中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,
an
an-1
=2n(n≥2),求通項公式an

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓C的圓心C(3,1),被x軸截得的弦長為4
2

(1)求圓C的方程;
(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且CA⊥CB,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若函數(shù)f(x)滿足:集合A={f(n)|n∈N*}中至少存在三個不同的數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列,則稱函數(shù)f(x)是等比源函數(shù).
(1)判斷下列函數(shù):①y=log2x;②y=sin
π
2
x中,哪些是等比源函數(shù)?(不需證明)
(2)證明:對任意的正奇數(shù)b,函數(shù)f(x)=2x+b不是等比源函數(shù);
(3)證明:任意的d,b∈N*,函數(shù)g(x)=dx+b都是等比源函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}滿足:a3=4,a5+a7=14,{an}的前n項和為Sn
(Ⅰ)求an及Sn;
(Ⅱ)令bn=
1
an2-1
(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二面角α-l-β大小為60°,點M、N分別在α、β面內(nèi),點P到α、β的距離分別為2和3,則△PMN周長的最小值等于
 

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