Question

已知函數(shù)f(x)=alnx+

1

x

(a＞0)．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（II）若?x＞0，均有ax（2-lnx）≤1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，最后由極值定義求得函數(shù)極值
（II）構(gòu)造新函數(shù)g（x）=ax（2-lnx），將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最大值問題，利用導(dǎo)數(shù)先求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再確定其最大值，最后解不等式求得實數(shù)a的取值范圍

解答：解：（I）依題意，x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

由f′（x）＞0得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

1

a

，+∞）
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

a

）
∴當(dāng)x=

1

a

時，函數(shù)f（x）的極小值為f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-alna
（II）設(shè)g（x）=ax（2-lnx）=2ax-axlnx，則函數(shù)定義域為（0，+∞）
g′（x）=2a-（ax•

1

x

+alnx）=a（1-lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，當(dāng)x∈（0，e）時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（e，+∞）時，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)g（x）的最大值為g（e）=ae（2-lne）=ae
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，即g（e）≤1
也即ae≤1，解得 a≤

1

e

又∵a＞0
∴0＜a≤

1

e

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、單調(diào)性、極值，以及導(dǎo)數(shù)在其中的應(yīng)用，由不等式恒成立問題與最值問題求解參數(shù)的取值范圍的方法