Question

1．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，點(diǎn)P（2a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)f（n）=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$（n∈N^*，且n≥2），求證：f（n）＜1．

Answer 1

分析 （1）由題意可得2a_n-a_n+1+1=0即a_n+1+1=2（a_n+1），再由等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求；
（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 解：（1）點(diǎn)P（2a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直線x-y+1=0上，
即有2a_n-a_n+1+1=0即a_n+1+1=2（a_n+1），
故數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
即有a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1；
（2）證明：由于$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
則f（n）=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法：注意運(yùn)用構(gòu)造數(shù)列，同時(shí)考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題．