Question

13．某企業(yè)投資1千萬元于一個高科技項目，每年可獲利25%．由于企業(yè)間競爭激烈，每年底需要從利潤中取出資金100萬元進行科研、技術改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率．設經(jīng)過n年后該項目的資金為a_n萬元．
（1）寫出數(shù)列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃，并猜想寫出通項a_n．
（2）求經(jīng)過多少年后，該項目的資金可以達到或超過2千萬元．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件寫出數(shù)列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃，然后猜想通項a_n．
（2）該項目的資金可以達到或超過2千萬元．通過a_n≥2000，得到不等式求解即可．

解答 解：（1）依題意${a_1}={10^3}×\frac{5}{4}-100，{a_2}={a_1}×\frac{5}{4}-100={10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^2}-100×（{1+\frac{5}{4}}）$${a_3}={a_2}×\frac{5}{4}-100={10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^3}-100×[{1+\frac{5}{4}+{{（{\frac{5}{4}}）}^2}}]$
猜想${a_n}={10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^n}-100×[{1+\frac{5}{4}+{{（{\frac{5}{4}}）}^2}+…+{{（{\frac{5}{4}}）}^{n-1}}}]$
=${10^3}×{（{\frac{5}{4}}）^n}-100×\frac{{1-{{（{\frac{5}{4}}）}^n}}}{{1-\frac{5}{4}}}=600×{（{\frac{5}{4}}）^n}+400$
（2）由a_n≥2000，得$600×{（{\frac{5}{4}}）^n}+400≥2000$∴${（{\frac{5}{4}}）^n}≥\frac{8}{3}$
∵$y={（{\frac{5}{4}}）^x}$在（-∞，+∞）上單調遞增，估算 ${（{\frac{5}{4}}）^4}＜\frac{8}{3}$，${（{\frac{5}{4}}）^5}＞\frac{8}{3}$∴n≥5
答：要經(jīng)過5年，該項目的資金超過2千萬元．

點評 本題考查數(shù)列的應用，數(shù)列與函數(shù)相結合，考查計算能力．