Question

已知f（x）=lnx，（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時，f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）當(dāng)n∈N^*，n≥2時，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）x≥1時，恒成立，等價于a≥[xlnx-x²]_max，構(gòu)造新的函數(shù)k（x）=xlnx-x²造．求出函數(shù)的最大值即可求出a的取值范圍．
（3）方法一：由（2）可知當(dāng)a=-1時，x≥1時，恒成立所以n∈N^*，n≥2時，有，進(jìn)而可證．
方法二：利用數(shù)學(xué)歸納法證明．當(dāng)n=2時，顯然成立．假設(shè)n=k（n∈N^*，n≥2）成立，即
那么當(dāng)n=k+1時，下面只需證，（k+1）ln（k+1）＜k（k+2）即可得證．
解答：解：（1）
（1分）
當(dāng)△=1+4a≤0，
即時，F(xiàn)′（x）≤0，
所以F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減（2分）
當(dāng)△=1+4a＞0，即時，
，
①時，
x₁＞0，x₂＞0，
單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）（3分）
②a＞0時，
x₁＞0，x₂＞0，
單調(diào)增區(qū)間為（x₁，x₂），
單調(diào)減區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞）（5分）
綜上：①時，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減（只要寫出以上三種情況即得5分）
②時，
x₁≤0，x₂＞0，
單調(diào)增區(qū)間為（0，x₂），單調(diào)減區(qū)間為（x₂，+∞）
③a＞0時，
x₁＞0，x₂＞0，
單調(diào)增區(qū)間為（x₁，x₂），，單調(diào)減區(qū)間為（0，x₁），（x₂，+∞）
（2）恒成立，
等價于a≥[xlnx-x²]_max（6分）
k（x）=xlnx-x²，k′（x）=1+lnx-2x，

k′（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
k（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以k（x）的最大值為k（1）=-1，所以a≥-1（18分）
（3）證法一：由（2）知當(dāng)a=-1時，x≥1時，恒成立
所以n∈N^*，n≥2時，有（10分）
所以，
，
相乘得（12分）
方法二：數(shù)學(xué)歸納法
①當(dāng)n=2時，顯然成立（9分）
②假設(shè)n=k（n∈N^*，n≥2）成立，即
那么當(dāng)n=k+1時，
下面只需證，（k+1）ln（k+1）＜k（k+2）
設(shè)t=k+1≥3，所以設(shè)k（t）=tlnt-t²+1
由（2）知當(dāng)a=-1時，x≥1時，恒成立，
即k（t）=tlnt-t²++1＜0在t=k+1≥3恒成立，所以
綜合（1）（2）命題成立（12分）
點(diǎn)評：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷及函數(shù)的恒成立問題．