Question

已知函數(shù)f(x)=kx3-3x2+1

&(k≥0，k∈R)

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若集合{x|f（x）=0，x∈R}有且只有一個(gè)元素．求正數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于最高次項(xiàng)系數(shù)是參數(shù)k，故對參數(shù)k的取值范圍進(jìn)行討論，在每一類中求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解不等式求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）集合{x|f（x）=0，x∈R}有且只有一個(gè)元素．當(dāng)k=0時(shí)顯然不可以，當(dāng)k＞0時(shí)，只需函數(shù)的極小值為正即可，有此關(guān)系建立參數(shù)k的不等式，解之即可．

解答：解：（I）①當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=-3x²+1∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0]，
單調(diào)減區(qū)間[0，+∞）．
②當(dāng)k＞0時(shí)，f′（x）=3kx²-6x=3kx（x-

2

k

），
于是f′(x)＜0?0＜x＜

2

k

；f′(x)＞0?x＜0或x＞

2

k

∴當(dāng)k＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0]，[

2

k

，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為[0，

2

k

]．
（Ⅱ）有題知k＞0，且題設(shè)等價(jià)于函數(shù)f（x）的極小值為正，
即f（

2

k

）=

8

k2

-

12

k2

+1＞0，即k²＞4，
結(jié)合k＞0，知k的取值范圍為（2，+∞）．所以，實(shí)數(shù)k的取值范圍為（2，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法及分類討論的思想，解答本題要注意正確轉(zhuǎn)化題設(shè)中的條件，如在（II）中集合只有一個(gè)元素的轉(zhuǎn)化，正確轉(zhuǎn)化是正確解答的關(guān)鍵．