Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ax²-bx（a，b為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（2）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，設(shè)h（x）=f（x）+g（x），若函數(shù)h（x）在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線(xiàn)的方程；
（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，可得存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$＜0，即存在x＞0使x²-bx+1＜0，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值，進(jìn)而得到b的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=lnx（x＞0），可得f′（x）=$\frac{1}{x}$（x＞0），
所以f′（1）=1，
又因?yàn)閒（1）=ln1=0，
∴f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程是y-0=x-1，即y=x-1，
所求切線(xiàn)方程為x-y-1=0；
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-bx，h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$（x＞0）．
依題存在x＞0使h′（x）=$\frac{{x}^{2}-bx+1}{x}$＜0，∴即存在x＞0使x²-bx+1＜0，
∵不等式x²-bx+1＜0等價(jià)為b＞x+$\frac{1}{x}$       （*），
令λ（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）
∵λ′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{2}}$（x＞0）．
∴λ（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，
故λ（x）=x+$\frac{1}{x}$∈[2，+∞），
∵存在x＞0，不等式（*）成立，
∴b＞2．所求b∈（2，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的方程和單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及不等式存在性問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．