Question

設(shè)函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[

1

e

，e]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，f′（x）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關(guān)于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=

a

x

-2bx，
∵函數(shù)f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，解得

a=1 b= 1 2

；
（2）f（x）=lnx-

1

2

x²，f′（x）=

1-x2

x

，
當(dāng)

1

e

≤x≤e時(shí)，令f'（x）＞0得

1

e

≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[

1

e

，1]，上單調(diào)遞增，
在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴f（x）max=f（1）=-

1

2

；

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．