Question

已知點，直線，動點P到點F的距離與到直線的距離相等．

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）直線與曲線C交于A，B兩點，若曲線C上存在點D使得四邊形FABD為平行四邊形，求b的值.

 

Answer 1

（1）；（2）或。

【解析】

試題分析：(1)顯然動點的軌跡滿足拋物線的定義，故用定義去求軌跡方程；（2）法一：由題意知，故設直線FD的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得點的橫坐標，再由拋物線的定義求出，把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，再由弦長公式求出的長，是用來表示的，然后令，可得關于的方程，從而求出的值；法二：同法一一樣先求出點的坐標，再把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求出兩點的橫坐標和與積， 又因為四邊形FABD是平行四邊形，所以，由此可得兩點的橫坐標的關系，結合韋達定理得到的結論找到一個關于的方程，

解方程即可，需根據(jù)點的坐標進行分情況討論。

試題解析：（1）依題意，動點P的軌跡C是以為焦點，為準線的拋物線,

所以動點P的軌跡C的方程為

（2）解法一：因為，故直線FD的方程為,

聯(lián)立方程組消元得：，

解得點的橫坐標為或 , 由拋物線定義知或

又由 消元得：。

設，，則且,

所以

因為FABD為平行四邊形，所以 所以或，

解得或，代入成立。

（2）解法二：因為，故直線FD的方程為

聯(lián)立方程組消元得：，解得或

故點或.

1）當時，設，

聯(lián)立方程組消元得（*）

根據(jù)韋達定理有①， ②

又因為四邊形是平行四邊形，所以，將坐標代入有 ③

代入①有，，再代入②有

整理得此時（*）的判別式,符合題意.

2）當時，同理可解得。

考點：（1）拋物線的定義；（2）直線與拋物線的位置關系；（3）弦長公式的應用；（4）向量加法的平行四邊形法則；（5）韋達定理的應用。