【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)點(diǎn)M(x0 , y0)是橢圓C: +y2=1上一點(diǎn),從原點(diǎn)O向圓M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=r2作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P,Q.直線OP,OQ的斜率分別記為k1 , k2
(1)若圓M與x軸相切于橢圓C的右焦點(diǎn),求圓M的方程;
(2)若r= ,①求證:k1k2=﹣ ;②求OPOQ的最大值.
【答案】
(1)解:橢圓C的右焦點(diǎn)是( ,0),x= ,代入 +y2=1,可得y=± ,
∴圓M的方程:(x﹣ )2+(y )2= ;
(2)解:因為直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x,與圓R相切,
所以直線OP:y=k1x與圓M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 聯(lián)立,可得(1+k12)x2﹣(2x0+2k1y0)x+x02+y02﹣ =0
同理(1+k22)x2﹣(2x0+2k2y0)x+x02+y02﹣ =0,
由判別式為0,可得k1,k2是方程(x02﹣ )k2﹣2x0y0k+y02﹣ =0的兩個不相等的實數(shù)根,
∴k1k2= ,
因為點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,所以y2=1﹣ ,
所以k1k2= =﹣ ;
(i)當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
因為4k1k2+1=0,所以 +1=0,即y12y22= x12x22,
因為P(x1,y1),Q(x2,y2)在橢圓C上,所以y12y22=(1﹣ )(1﹣ )= x12x22,
整理得x12+x22=4,
所以y12+y22=1
所以O(shè)P2+OQ2=5.
(ii)當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時,顯然有OP2+OQ2=5,
綜上:OP2+OQ2=5
所以O(shè)POQ≤ (OP2+OQ2)=2.5,
所以O(shè)POQ的最大值為2.5.
【解析】(1)橢圓C的右焦點(diǎn)是( ,0),x= ,代入 +y2=1,可得y=± ,求出圓的圓心,然后求圓M的方程;(2)①因為直線OP:y=k1x,OQ:y=k2x,與圓R相切,推出k1,k2是方程(1+k2)x2﹣(2x0+2ky0)x+x02+y02﹣ =0的兩個不相等的實數(shù)根,利用韋達(dá)定理推出k1k2.結(jié)合點(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,證明k1k2=﹣ .②(i)當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),通過4k1k2+1=0,推出y12y22= x12x22,利用P(x1,y1),Q(x2,y2),在橢圓C上,推出OP2+OQ2=5,即可求出OPOQ的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=|x2+ax+b|在區(qū)間[0,c]內(nèi)的最大值為M(a,b∈R,c>0位常數(shù))且存在實數(shù)a,b,使得M取最小值2,則a+b+c= .
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(1)求證:平面AEF⊥平面AA1B1B;
(2)若A1A=2AB=2BC=4,求三棱錐F﹣ABC的體積.
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【題目】將函數(shù) 的圖象向左平移m(m>0)個單位長度,得到的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間 上單調(diào)遞減,則m的最小值為 .
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【題目】點(diǎn)A,B,C,D在同一個球的球面上,AB=BC= ,∠ABC=90°,若四面體ABCD體積的最大值為3,則這個球的表面積為( )
A.2π
B.4π
C.8π
D.16π
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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C: (θ為參數(shù)),點(diǎn)P在直線l:x+y﹣4=0上,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.
(I)求圓C和直線l的極坐標(biāo)方程;
(II)射線OP交圓C于R,點(diǎn)Q在射線OP上,且滿足|OP|2=|OR||OQ|,求Q點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知(b﹣2a)cosC+ccosB=0
(1)求角C;
(2)若 ,求邊長a,b的值.
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