Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[{0，\frac{1}{2}}）}\\{{2^{x-1}}，x∈[{\frac{1}{2}，2}）}\end{array}}\right.$，若存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂），則x₁f（x₂）-f（x₂）的最小值為$-\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 先作出函數(shù)圖象然后根據(jù)圖象，根據(jù)f（x₁）=f（x₂），確定x₁的取值范圍然后再根據(jù)x₁f（x₂）=x₁f（x₁），轉(zhuǎn)化為求在x₁的取值范圍即可．

解答 解：∵存在x₁，x₂，當0≤x₁＜x₂＜2時，f（x₁）=f（x₂）
∴0≤x₁＜$\frac{1}{2}$，
作出函數(shù)圖象可知，${x_1}f（{x_2}）-f（{x_2}）={x_1}f（{x_1}）-f（{x_1}）={x_1}^2+\frac{1}{2}{x_1}-（{{x_1}+\frac{1}{2}}）$
=${x_1}^2-\frac{1}{2}{x_1}-\frac{1}{2}={（{{x_1}-\frac{1}{4}}）^2}-\frac{9}{16}$，當${x_1}=\frac{1}{4}$時，最小值為$-\frac{9}{16}$．
故答案為$-\frac{9}{16}$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，以及函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系，利用二次函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性強，難度較大．