在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)(0，-
3
)，(0，
3
)的距離之和為4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）寫(xiě)出C的方程；
（2）若
OA
⊥
OB
，求k的值；
（3）若點(diǎn)A在第一象限，證明：當(dāng)k＞0時(shí)，恒有|
OA
|＞|
OB
|．
分析：說(shuō)明：本小題主要考查平面向量，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題的能力．
解答：解：
（Ⅰ）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(0，-
3
)，(0，
3
)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓．它的短半軸b=
22-(
3
)2
=1，
故曲線C的方程為x2+
y2
4
=1．（3分）
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足
x2+
y2
4
=1
y=kx+1.

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，
故x1+x2=-
2k
k2+4
，x1x2=-
3
k2+4
．（5分）
若
OA
⊥
OB
，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，
于是x1x2+y1y2=-
3
k2+4
-
3k2
k2+4
-
2k2
k2+4
+1=0，
化簡(jiǎn)得-4k2+1=0，所以k=±
1
2
．（8分）
（Ⅲ）因?yàn)锳（x1，y1）在橢圓上，所以滿足y2=4（1-x2），y12=4（1-x12），
|OA|
2-
|OB|
2=
x
2
1
+
y
2
1
-(
x
2
2
+
y
2
2
)=（x12-x22）+4（1-x12-1+x22）=-3（x1-x2）（x1+x2）=
6k(x1-x2)
k2+4
．
因?yàn)锳在第一象限，故x1＞0．由x1x2=-
3
k2+4
知x2＜0，從而x1-x2＞0．又k＞0，
故
|OA|
2-
|OB|
2＞0，
即在題設(shè)條件下，恒有
|OA|
＞
|OB|
．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的運(yùn)用以及直線與橢圓的位置關(guān)系，難點(diǎn)在與計(jì)算量較大，平時(shí)應(yīng)加大訓(xùn)練的力度與方向性．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2．F2也是拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn)，且|MF2|=
5
3
．
（Ⅰ）求C1的方程；
（Ⅱ）平面上的點(diǎn)N滿足
MN
=
MF1
+
MF2
，直線l∥MN，且與C1交于A，B兩點(diǎn)，若
OA
•
OB
=0，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（2cosx+1，2cos2x+2）和點(diǎn)Q（cosx，-1），其中x∈[0，π]．若向量
OP
與
OQ
垂直，求x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2
3
．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R1，R2是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R1，R2到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R1，R2到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0（α為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t為參數(shù)）
（I）求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程，并說(shuō)明它表示什么曲線；
（II）求直線l被軌跡C截得的最大弦長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左右兩個(gè)焦分別為F1，F(xiàn)2．過(guò)右焦點(diǎn)F2且與x軸垂直的直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)落在橢圓C上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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