Question

設(shè)f(x)＝px－－2lnx，且f(e)＝qe－－2(e為自然對數(shù)的底數(shù))

(Ⅰ)求p與q的關(guān)系；

(Ⅱ)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；

(Ⅲ)設(shè)g(x)＝，若在[1，e]上至少存在一點x₀，使得f(x₀)＞g(x₀)成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由題意得f(e)＝pe－－2lne＝qe－－2　1分 　　(p－q)(e＋)＝0　2分 　　而e＋≠0 　　∴p＝q　3分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝px－－2lnx 　　(x)＝p＋－＝　4分 　　令h(x)＝px2－2x＋p，要使f(x)在其定義域(0，＋¥ )內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需h(x)在(0，＋¥ )內(nèi)滿足：h(x)≥0或h(x)≤0恒成立．　5分 　�、佼�p＝0時，h(x)＝－2x，∵x＞0，∴h(x)＜0，∴(x)＝－＜0， 　　∴f(x)在(0，＋¥ )內(nèi)為單調(diào)遞減，故p＝0適合題意．　6分 　�、诋�p＞0時，h(x)＝px2－2x＋p，其圖象為開口向上的拋物線，對稱軸為x＝∈(0，＋¥ )，∴h(x)min＝p－ 　　只需p－≥1，即p≥1時h(x)≥0，(x)≥0 　　∴f(x)在(0，＋¥ )內(nèi)為單調(diào)遞增， 　　故p≥1適合題意．　7分 　�、郛�p＜0時，h(x)＝px2－2x＋p，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為x＝Ï (0，＋¥ ) 　　只需h(0)≤0，即p≤0時h(x)≤0在(0，＋¥ )恒成立． 　　故p＜0適合題意．　8分 　　綜上可得，p≥1或p≤0…………9分 　　另解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)＝px－－2lnx 　　(x)＝p＋－＝p(1＋)－　4分 　　要使f(x)在其定義域(0，＋¥ )內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需(x)在(0，＋¥ )內(nèi)滿足：(x)≥0或(x)≤0恒成立．　5分 　　由(x)≥0Û p(1＋)－≥0Û p≥Û p≥()max，x＞0 　　∵≤＝1，且x＝1時等號成立，故()max＝1 　　∴p≥1　7分 　　由(x)≤0Û p(1＋)－≤0Û p≤Û p≤()min，x＞0 　　而＞0且x→0時，→0，故p≤0　8分 　　綜上可得，p≥1或p≤0　9分 　　(Ⅲ)∵g(x)＝在[1，e]上是減函數(shù) 　　∴x＝e時，g(x)min＝2，x＝1時，g(x)max＝2e 　　即g(x)Î [2，2e]　10分 　�、�p≤0時，由(Ⅱ)知f(x)在[1，e]遞減Þ f(x)max＝f(1)＝0＜2，不合題意．11分 　�、�0＜p＜1時，由xÎ [1，e]Þ x－≥0 　　∴f(x)＝p(x－)－2lnx≤x－－2lnx 　　右邊為f(x)當p＝1時的表達式，故在[1，e]遞增 　　∴f(x)≤x－－2lnx≤e－－2lne＝e－－2＜2，不合題意．　12分 　�、�p≥1時，由(Ⅱ)知f(x)在[1，e]連續(xù)遞增，f(1)＝0＜2，又g(x)在[1，e]上是減函數(shù) 　　∴本命題Û f(x)max＞g(x)min＝2，xÎ [1，e] 　　Þ f(x)max＝f(e)＝p(e－)－2lne＞2 　　Þ p＞　13分 　　綜上，p的取值范圍是(，＋¥ )　14分