Question

對于函數(shù)f（x）=sinx+cosx，給出下列四個命題：
①存在α∈(0，

π

2

)，使f(α)=

4

3

； 
②存在α∈(0，

π

2

)，使f（x+α）=f（x+3α）恒成立； 
③存在φ∈R，使函數(shù)f（x+?）的圖象關于y軸對稱；
④函數(shù)f（x）的圖象關于點(

3π

4

，0)對稱； 
⑤若x∈[0，

π

2

]，則f(x)∈[1，

2

]．
其中正確命題的序號是

①③④⑤

．

Answer 1

分析：利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，化簡函數(shù)y=sinx+cosx為

2

sin（x+

π

4

），確定函數(shù)的值域，判斷①的真假； 找出特殊值判斷②；根據(jù)函數(shù)的對稱軸判斷③的真假；將 （

3

4

π，0）代入函數(shù)解析式成立，說明④正確．⑤若x∈[0，

π

2

]，則有 （x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，可得 f(x)∈[1，

2

]，故⑤正確．

解答：解：函數(shù)y=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），①α∈（0，

π

2

）時 y∈（1，

2

]，因為

4

3

∈（1，

2

]，所以為真命題；
②f（x+α）=f（x+3α）說明2α是函數(shù)的周期，函數(shù)f（x）的周期為2π，故α=π，顯然為假命題；
③存在θ∈R使函數(shù)f（x+θ）的圖象關于y軸對稱，
函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并且有對稱軸，適當平移即可滿足題意，為真命題；
④函數(shù)f（x）的圖象關于點 （

3

4

π，0）對稱，當x=

3π

4

時，f（

3π

4

）=0，滿足題意，為真命題，
⑤若x∈[0，

π

2

]，則有 （x+

π

4

）∈[

π

4

，

3π

4

]，∴f(x)∈[1，

2

]，故⑤為真命題，
故答案為 ①③④⑤．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的定義域及值域，正弦函數(shù)的對稱性，以及三角函數(shù)的周期性及其求法，要求學生掌握正弦函數(shù)的圖象及性質，能夠充分利用已知條件，靈活利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解題的關鍵，鍛煉了學生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．