Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax﹣a），其中a是常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax﹣a）可得，f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]，
當(dāng)a=1時(shí)，f（1）=e，f′（1）=4e．
所以 曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣e=4e（x﹣1），
即y=4ex﹣3e．
（Ⅱ） 令f′（x）=e^x[x²+（a+2）x）]=0，
解得x=﹣（a+2）或x=0．
當(dāng)﹣（a+2）≤0，即a≥﹣2時(shí)，在區(qū)間[0，+∞）上，f′（x）≥0，
所以f（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)．
所以方程f（x）=k在[0，+∞）上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
當(dāng)﹣（a+2）＞0，即a＜﹣2時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表

由上表可知函數(shù)f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（﹣（a+2））=．
因?yàn)?函數(shù)f（x）是（0，﹣（a+2））上的減函數(shù)，是（﹣（a+2），+∞）上的增函數(shù)，
且當(dāng)x≥﹣a時(shí)，有f（x）≥e^﹣a（﹣a）＞﹣a．
所以要使方程x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
k的取值范圍必須是（，﹣a]．