Question

12．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）且斜率是-$\sqrt{2}$的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求△AOB（O為原點(diǎn)）的面積．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用離心率公式和橢圓基本量a，b，c的關(guān)系，以及點(diǎn)（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）滿(mǎn)足橢圓方程，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）直線AB的方程為y=-$\sqrt{2}$x+2，將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去y，可得x的二次方程，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用韋達(dá)定理，由S_△AOB=|S_△POB-S_△POA|=$\frac{1}{2}$×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|，由配方即可得到所求值．

解答 解：（1）由e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
得$\frac{a}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，①
由橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，②
聯(lián)立①②，解得b=1，a=$\sqrt{3}$，
所以橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）直線AB的方程為y=-$\sqrt{2}$x+2，
將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
消去y得7x²-12$\sqrt{2}$x+9=0，
滿(mǎn)足△=144×2-4×7×9＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，x₁x₂=$\frac{9}{7}$，
所以S_△AOB=|S_△POB-S_△POA|=$\frac{1}{2}$×2×|x₁-x₂|=|x₁-x₂|，
因?yàn)椋▁₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{12\sqrt{2}}{7}$）²-4×$\frac{9}{7}$=$\frac{36}{49}$，
所以S_△AOB=|x₁-x₂|=$\frac{6}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，考查三角形的面積的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．