Question

6．若函數(shù)y₁=sin2x₁-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x₁∈[0，π]），函數(shù)y₂=x₂+3，則（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為$\frac{（π+18）^{2}}{72}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平移切線法，求出和直線y=x+3平行的切線方程和切點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)z=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，
則z的幾何意義是兩條曲線上動點(diǎn)之間的距離的平方，
求函數(shù)y=sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x∈[0，π]）的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=2cos2x，
直線y=x+3的斜率k=1，
由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=$\frac{1}{2}$，
即2x=$\frac{π}{3}$，解得x=$\frac{π}{6}$，
此時y=sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，
即函數(shù)在（$\frac{π}{6}$，0）處的切線和直線y=x+3平行，
則最短距離d=$\frac{|\frac{π}{6}+3|}{\sqrt{2}}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值d²=（$\frac{|\frac{π}{6}+3|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{（π+18）^{2}}{72}$．
故答案為：$\frac{（π+18）^{2}}{72}$．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用平移切線法求直線和正弦函數(shù)距離的最小值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．