Question

【題目】如圖在三棱錐P﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，已知AD=PD，PA=6，BC=8，DF=5，求證：

（1）直線PA∥平面DEF；
（2）平面DEF⊥平面ABC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為D，E是PC，AC中點，

∴PA∥DE

∵DE平面DEF，PA平面DEF，

∴PA∥平面DEF

（2）證明：因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，

∴PA=2DE，BC=2FE

∵PA=6，BC=8，DF=5

∴DE=3，EF=4，DF=5，

∴DE2+EF2=DF2∴DE⊥EF，

∵PD=AD，D為PC的中點

∴AD=DC

∵E為AC的中點，

∴DE⊥AC

∵AC∩EF=E，

∴DE⊥平面ABC，

∵DE平面DEF，

∴平面DEF⊥平面ABC．

【解析】（1）由D、E為PC、AC的中點，得出DE∥PA，從而得出PA∥平面DEF；（2）要證平面BDE⊥平面ABC，只需證DE⊥平面ABC，即證DE⊥EF，且DE⊥AC即可
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．