Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD
（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；
（3）求直線AB與平面PCD的距離．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=

2

的矩形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥側(cè)面PAB，再由面面垂直的判定定理即可得到側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
（2）取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE，根據(jù)（1）的結(jié)論和等腰三角形性質(zhì)，可得∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角，解三角形PCE即可求出側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角；
（3）取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，可得EG⊥平面PCD，解△PEF求了EG的長，即可求出直線AB與平面PCD的距離．

解答：證明：（1）在矩形ABCD中，BC⊥AB
又∵面PAB⊥底面ABCD側(cè)面PAB∩底面ABCD=AB
∴BC⊥側(cè)面PAB  又∵BC?側(cè)面PBC
∴側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；
解：（2）取AB中點(diǎn)E，連接PE、CE
又∵△PAB是等邊三角形∴PE⊥AB
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∴PE⊥面ABCD
∴∠PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成角
PE=

3

2

BA=

3

，CE=

BE2+BC2

=

3

在Rt△PEC中，∠PCE=45°為所求
（3）在矩形ABCD中，AB∥CD
∵CD?側(cè)面PCD，AB?側(cè)面PCD，∴AB∥側(cè)面PCD
取CD中點(diǎn)F，連EF、PF，則EF⊥AB
又∵PE⊥AB∴AB⊥平面PEF   又∵AB∥CD
∴CD⊥平面PEF∴平面PCD⊥平面PEF
作EG⊥PF，垂足為G，則EG⊥平面PCD
在Rt△PEF中，EG=

PE•EC

PF

=

30

5

為所求．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，線面距離；（1）的關(guān)鍵是熟練掌握面面垂直的判定及性質(zhì)，（2）的關(guān)鍵是求出線面夾角的平面角，（3）是找到直線與平面的公垂線段．