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已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線相切，直線與橢圓C相交于A、B兩點.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求的取值范圍；

（Ⅲ）若B點關于x軸的對稱點是E，證明：直線AE與x軸相交于定點.

 

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】（1）利用以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+ 6=0相切，可求b的值，再利用橢圓的離心率為 ，即可求出橢圓C的方程；

(2)利用向量的坐標，表示出數量積，結合偉大定理得到結論。

（3）設點的坐標，然后代入橢圓中，從而得到直線AB的方程，得到定點。

解：因為：（Ⅰ）∵橢圓C：的離心率為 ，∴∵橢圓的短半軸為半徑的圓與直線0相切．

∴b=  

∴a2=4，b2=3

∴橢圓的方程為

（Ⅱ）∴…8分

∵∴，   ∴

∴的取值范圍是．……………………… 10分

（Ⅲ）證：∵B、E兩點關于x軸對稱，∴E(x2，－y2)

直線AE的方程為：，

令y = 0得：

∴直線AE與x軸交于定點(1，0)．………… 13分

(2)因為直線與橢圓C相交于A、B兩點，那么聯立方程組可知得到韋達定理從而得到取值范圍。

（3）直線AE與x軸相交于定點Q：（1，0）

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為e，兩焦點分別為F1、F2，拋物線C以F1為頂點、F2為焦點，點P為拋物線和橢圓的一個交點，若e|PF2|=|PF1|，則e的值為（　　）
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不對

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為
1
2
，焦點是（-3，0），（3，0），則橢圓方程為（　�。�
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在由圓O：x2+y2=1和橢圓C：
x2
a2
+y2=1（a＞1）構成的“眼形”結構中，已知橢圓的離心率為
6
3
，直線l與圓O相切于點M，與橢圓C相交于兩點A，B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線l，使得
OA
•
OB
=
1
2
OM
2，若存在，求此時直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知橢圓的離心率為
2
2
，準線方程為x=±8，求這個橢圓的標準方程；
（2）假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30-7：30之間把報紙送到你家，你父親離開家去工作的時間在早上7：00-8：00之間，請你求出父親在離開家前能得到報紙（稱為事件A）的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，A，B是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的任意一點，已知橢圓的離心率為e，右準線l的方程為x=m．
（1）若e=
1
2
，m=4，求橢圓C的方程；
（2）設直線AM交l于點P，以MP為直徑的圓交MB于Q，若直線PQ恰過原點，求e．

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