Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+lnx（a≠0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；
（3）求證：ln2＜

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＜ln3（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)的運算法則即可求出f′（x），對a進行討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）函數(shù)的單調(diào)性，對a進行討論，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，對函數(shù)的最小值進行求導(dǎo)，即可求得a的取值范圍；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，a=′1時，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分別令x=

k

k+1

，x=

k+1

k

，即可證得結(jié)果．

解答：解：（1）因為函數(shù) f(x)=

1-x

ax

+lnx，其定義域為（0，+∞）
所以f′（x）=[

1-x

ax

]′+（lnx）′=

a x-1

ax2

即 f′(x)=

ax-1

ax2

當a＜0時，增區(qū)間為﹙0，+∞﹚；
當a＞0時，減區(qū)間為﹙0，

1

a

），增區(qū)間為（

1

a

，+∞）
（2）1°當a＜0時，函數(shù)增區(qū)間為﹙0，+∞﹚，此時不滿足f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；
2°當a＞0時，函數(shù)減區(qū)間為﹙0，

1

a

），增區(qū)間為（

1

a

，+∞），
要使f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只需f（

1

a

）≥0即可，
即1-

1

a

-lna≥0，
令g（a）=1-

1

a

-lna  （a＞0）
則g′（a）=

1

a2

-

1

a

=

1-a

a2

=0，
解得a=1，因此g（a）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當a=1時，g（a）取最大值0，
故f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
當且僅當a=1時成立，即a=1；
（3）由（2）知，令x=

k+1

k

時，f(

k+1

k

)  =-

1

k+1

+ln(k+1)-lnk＞0（k∈N^*）
∴

1

k+1

＜ln(k+1)-lnk（k∈N^*）
∴

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＜ln3
令x=

k

k+1

，則f(

k

k+1

)  =

1

k

-ln(k+1)+lnk＞0（k∈N^*）
∴

1

k

＞ln(k+1)-lnk（k∈N^*）
∴ln2＜

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

綜上ln2＜

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n

＜ln3成立．

點評：本題考查函數(shù)性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)的最值，利用函數(shù)思想時也要用導(dǎo)數(shù)來求最值，考查靈活應(yīng)用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬難題．