Question

14．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2，AB=BC=2$\sqrt{2}$，∠AA₁C₁=60°，平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，AC₁與A₁C相交于點(diǎn)D．
（1）求證：BC₁⊥平面AA₁C₁C；
（2）求二面角C₁-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）說明過B作平面AA₁C₁C的垂線，垂足在AC₁上，取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，EB，說明過B作平面AA₁C₁C的垂線，垂足在EC₁上，推出垂足是C₁．然后證明結(jié)論．
（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DM分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABC₁與平面ABC的法向量，從而可算出二面角C₁-AB-C的余弦值．

解答 解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2，AB=BC=2$\sqrt{2}$，∠AA₁C₁=60°，
∵AC=AA₁，∴AA₁=A₁C₁，
∵∠AA₁C₁=60°，∴△AA₁C₁為等腰三角形，
同理△ABC₁是等腰三角形，
∵D為AC₁的中點(diǎn)，∴BD⊥AC₁，
∵平面ABC₁⊥平面AA₁C₁C，所以過B作平面AA₁C₁C的垂線，垂足在AC₁上，
三角形ABC是等腰三角形，取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，EB，可知BE⊥AC，C₁E⊥AC，所以AC⊥平面BEC₁，
過B作平面AA₁C₁C的垂線，垂足在EC₁上，可得垂足是C₁．
∴BC₁⊥平面AA₁C₁C．
（2）由（1）可得C₁B=2，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DM分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，M為AB的中點(diǎn)，A（1，0，0）；B（-1，0，2）C（0，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），
平面ABC₁的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），

由題意可得$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AB}$=（-2，0，2），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，
所以平面ABC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\sqrt{3}$），
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{1•\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$
即二面角C₁-AB-C的余弦值等于$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題在三棱柱中求證線面垂直，并求二面角的平面角大小．著重考查了面面垂直的判定與性質(zhì)、棱柱的性質(zhì)、余弦定理、二面角的定義及求法等知識(shí)，屬于中檔題．