Question

已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半，   

求：（1）動點M的軌跡方程；

（2）若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）N的軌跡是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓

【解析】(1)由題意動點M滿足的幾何條件為,然后對其坐標(biāo)化，再化簡整理可得到點M的軌跡方程.

（2）本小題屬于相關(guān)點法求動點的軌跡方程，設(shè)動點N的坐標(biāo)為（x，y），M的坐標(biāo)是（x₁，y₁）．根據(jù)N為線段AM的中點，借助中點坐標(biāo)公式，把M的坐標(biāo)用N的坐標(biāo)來表示，然后代入M的軌跡方程可得點N的軌跡方程.

解：（1）設(shè)動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合

P ．

由兩點距離公式，點M適合的條件可表示為 ，  平方后再整理，得 ．  可以驗證，這就是動點M的軌跡方程．

（2）設(shè)動點N的坐標(biāo)為（x，y），M的坐標(biāo)是（x₁，y₁）．

由于A（2，0），且Ｎ為線段AM的中點，所以

         ， ．所以有，   ①

由（1）題知，M是圓上的點，所以M坐標(biāo)（x₁，y₁）滿足：②，將①代入②整理，得．

所以N的軌跡是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓．