Question

已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半，求：（1）動點M的軌跡方程；（2）若N為線段AM的中點，試求點N的軌跡．

Answer 1

分析：（1）設動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合P={M||MA|=

1

2

|MB|}．由兩點距離公式，能求出動點M的軌跡方程．
（2）設動點N的坐標為（x，y），M的坐標是（x₁，y₁）．由A（2，0），且N為線段AM的中點，知x₁=2x-2，y₁=2y，由M是圓x²+y²=16上的點，知M坐標（x₁，y₁）滿足：x₁²+y₁²=16，由此能求出點N的軌跡．

解答：解：（1）設動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則點M的軌跡就是集合
P={M||MA|=

1

2

|MB|}．（1分）
由兩點距離公式，點M適合的條件可表示為

(x-2)2+y2

=

1

2

(x-8)2+y2

，
（3分）
平方后再整理，得x²+y²=16．（5分）
（2）設動點N的坐標為（x，y），M的坐標是（x₁，y₁）．（6分）
由于A（2，0），且N為線段AM的中點，所以x=

2+x1

2

，y=

0+y1

2

所以有x₁=2x-2，y₁=2y①（8分）
由（1）題知，M是圓x²+y²=16上的點，
所以M坐標（x₁，y₁）滿足：x₁²+y₁²=16②（9分）
將①代入②整理，得（x-1）²+y²=4．（11分）
所以N的軌跡是以（1，0）為圓心，以2為半徑的圓（12分）

點評：本題考查軌跡方程，解題時要認真審題，仔細求解，注意公式的合理運用．