Question

已知函數f（x）=x³+（a+1）x²+ax-2，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線在x軸上的截距為

7

11

．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）證明：當k＜1時，曲線y=f（x）與y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共點．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，求出切線的斜率，求出切點，再由點斜式方程寫出切線方程，令y=0，得到方程，解得a=2；
（Ⅱ）由題意要證：當k＜1時，曲線y=f（x）與y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共點，即要證x³+3x²+
（1-k）•e^x=0在k＜1時有唯一解．設g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x，討論①當x≥-3時，②當x＜-3時，求出導數，判斷單調性，得到g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x＜x³+3x²+1-k，則h（x）=h（k-4）=（k-4）³+3（k-4）²+1-k，
即h（k-4）＜0，即存在x=k-4，使得g（x）＜h（x）＜0，故存在x₀∈（k-4，-3），有g（x₀）=0，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：函數f（x）=x³+（a+1）x²+ax-2的導數f′（x）=3x²+2（a+1）x+a，
即有f′（1）=3a+5，切線斜率為3a+5，
f（1）=2a，切點為（1，2a），
則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為：y-2a=（3a+5）（x-1）．
令y=0則x=

a+5

3a+5

，由

a+5

3a+5

=

7

11

，解得a=2；
（Ⅱ）證明：由題意要證：當k＜1時，曲線y=f（x）與y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共點，
即要證x³+3x²+（1-k）•e^x=0在k＜1時有唯一解．
設g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x，
由于1-k＞0，則g（x）＞x³+3x²=x²（x+3），
①當x≥-3時，g（x）＞x²（x+3）≥0，則g（x）在x≥-3時無零點；
②當x＜-3時，g′（x）=3x²+6x+（1-k）•e^x＞3x²+6x=3x（x+2）＞0，
則g（x）在x＜-3時單調遞增．而g（-3）=（1-k）•e^-3＞0，
由于e^x＜e^-3，則（1-k）•e^x＜（1-k）•e^-3，
g（x）=x³+3x²+（1-k）•e^x＜x³+3x²+

1-k

e3

＜x³+3x²+1-k，
設h（x）=x³+3x²+1-k，由于k-1＜0，取x=k-4＜-3，
則h（x）=h（k-4）=（k-4）³+3（k-4）²+1-k，
即h（k-4）=（k-4）²[（k-4）+3]+1-k=（k-1）[（k-4）²-1]＜0，
即存在x=k-4，使得g（x）＜h（x）＜0，
故存在x₀∈（k-4，-3），有g（x₀）=0，
綜上，當k＜1時，曲線y=f（x）與y=（k-1）e^x+2x-2有唯一公共點．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，判斷函數的單調性，以及運用求最值，考查函數的性質和運用，以及構造導數，運用單調性求解的能力，考查運算能力，屬于中檔題．