Question

函數(shù)g（x）=ax³+bx²+cx及其導函數(shù)g'（x）的圖象如下：y=g′（x）y=g（x）．

（1）求g（x）的解析式；
（2）若f（x）=g（x）-m，g′（x）在區(qū)間[2，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意得1，2是g′（x）=3ax²+2bx+c=0的兩個根，且g（1）=

5

6

，得方程組求出a，b，c的值即可；（2）先求出函數(shù)f'（x）的導數(shù)，得不等式組，解出即可．

解答： 解：（1）由y=g′（x）的圖象得x=1，x=2是y=g（x）的兩個極值點，
又g′（x）=3ax²+2bx+c，
∴x=1，x=2是方程的兩個根，且g（1）=

5

6

，
∴

1+2=- b 3a 1×2= c 3a a+b+c= 5 6

，解得：

a= 1 3 b=- 3 2 c=2

，
∴g(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x；
（2）∴f(x)=

1

3

x3-(

3

2

+m)x2+(2+3m)x-2m
則f'（x）=x²-（3+2m）x+2+3m≥0在[2，+∞）上恒成立
則

3+2m 2 ≤2 f′(2)≥0

或△≤0，
解得m≤0所以a的取值范圍是（-∞，0]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的解析式問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．