Question

已知可由數(shù)列{a_n}構(gòu)造一列向量：

βn

=（2a_n，a_n+1-2ⁿ⁺¹），n∈Z₊．又向量

m

=（1，3），

p

=（3a₁，7-a₂），且向量

m

與

p

垂直，以及向量

m

與

βn

平行（n∈Z₊）．
（1）試確定a₁的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與向量的綜合,平行向量與共線向量

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用向量的平行與垂直，列出關(guān)系式即可求解a₁的值；
（2）利用向量

m

與

βn

平行（n∈Z₊）．推出數(shù)列的遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為數(shù)列是等比數(shù)列，求出新數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （本題滿(mǎn)分13分）
解：（1）由向量

m

⊥

p

，以及向量

m

∥

βn

，
可得

3a1+21-3a2=0 6a1-a2+4=0

解得a1=

3

5

．
（2）?n∈Z+，

m

∥

βn

，于是有2an×3-an+1+2n+1=0，
整理得：an+1=6an+2n+1，
∴

an+1

2n+1

=3•

an

2n

+1，
∴

an+1

2n+1

+

1

2

=3•(

an

2n

+

1

2

)，
∵

a1

2

+

1

2

=

4

5

≠0，
∴

an

2n

+

1

2

=

4

5

×3n-1
∴數(shù)列{

an

2n

+

1

2

}是以

4

5

為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
∴an=(

4

5

×3n-1-

1

2

)•2n=

2n+2•3n-1

5

-2n-1.．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量與數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．