Question

已知函數(shù)f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=x-1，若實(shí)數(shù)m同時(shí)滿足下列條件：
①對(duì)?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（-∞，-1），使得f（x）g（x）＜0．
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由①可推得f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立，建立關(guān)于m的不等式組可得m的范圍，然后由②可得：?x∈（-∞，-1），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，結(jié)合函數(shù)y=（x-2m）（x+m+3）的圖象可得：2m＜-4，解之可得m的另一個(gè)范圍，取交集即可．

解答： 解：∵g（x）=x-1，當(dāng)x≥1時(shí)，g（x）≥0，
又∵?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1時(shí)恒成立
所以二次函數(shù)圖象開(kāi)口只能向下，且與x軸交點(diǎn)都在（1，0）的左側(cè)，
即

m＜0 -m-3＜1 2m＜1

，
解得-4＜m＜0；
又因?yàn)?x∈（-∞，-1），f（x）g（x）＜0．
而此時(shí)有g(shù)（x）=x-1＜0．
∴?x∈（-∞，-1），使f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0成立，
由于m＜0，所以?x∈（-∞，-1），使（x-2m）（x+m+3）＜0成立，
故m滿足

m＜0 2m＜-m-3 2m＜-1 -m-3＜1

，或

m＜0 2m＞-m-3 2m＜1 -m-3＜-1

m＜0 2m＜-1或-m-3＜-1

，
解第一個(gè)不等式組得-4＜m＜-1，解第二個(gè)不等式組得-1＜m＜0．
綜上可得m的取值范圍是：（-4，-1）∪（-1，0），
故答案為：（-4，-1）∪（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題為二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及分類結(jié)合的思想，屬中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．