Question

19．若定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x₁，x₂∈[a，b]，都有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）是[a，b]上的“下凸函數(shù)”，則下列說法正確的有（　�。﹤�
①f（x）=tanx是（0，$\frac{π}{2}$）上的“下凸函數(shù)”
②無法判斷f（x）=|x|+$\frac{1}{|x|}$在（-∞，0）上是否是“下凸函數(shù)”
③若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x∈（-∞，0]}\\{f（x-1）+1，x∈（0，+∞）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的“下凸函數(shù)”
④若f（x）是[a，b]上的“下凸函數(shù)”，且對任意x₁，x₂，…，x₈∈[a，b]，則必有f（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+…+{x}_{8}}{8}$）≤$\frac{1}{8}$[f（x₁）+f（x₂）+…+f（x₈）]．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)條件可以判斷并畫出“下凸函數(shù)”的基本形狀，根據(jù)tanx在（0，$\frac{π}{2}$）上的圖象即可判斷tanx是否為$（0，\frac{π}{2}）$上的“下凸函數(shù)”；由f（x）=x+$\frac{1}{x}$的圖象可以畫出$f（x）=-x-\frac{1}{x}$在（-∞，0）上的圖象，從而判斷$f（x）=|x|+\frac{1}{|x|}$是否為（-∞，0）上的“下凸函數(shù)”；對于③根據(jù)f（x）的遞推公式可以得出f（x）的解析式，而根據(jù)指數(shù)函數(shù)為“下凸函數(shù)”便可判斷該函數(shù)是否為“下凸函數(shù)”；對于④通過$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）≤\frac{1}{2}[f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）]$即可推導(dǎo)出該結(jié)論成立，從而判斷出該說法正確，最后便可得出說法正確的個數(shù)．

解答 解：根據(jù)題意，“下凸函數(shù)”的圖象如下所示：

∴①由tanx在$（0，\frac{π}{2}）$上的圖象可看出，該函數(shù)是$（0，\frac{π}{2}）$上的“下凸函數(shù)”，∴該說法正確；
②根據(jù)$f（x）=x+\frac{1}{x}$的圖象可畫出f（x）=$-x-\frac{1}{x}$在（-∞，0）的圖象如下圖所示：

由圖象便可看出，該函數(shù)在（-∞，0）上是“下凸函數(shù)”，∴該說法錯誤；
③$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}&{x∈（-∞，0]}\\{{2}^{x-1}+1}&{x∈（0，1]}\\{{2}^{x-2}+2}&{x∈（1，2]}\\{…}&{…}\end{array}\right.$，根據(jù)f（x）=2^x圖象知，f（x）=2^x為“下凸函數(shù)”，根據(jù)平移變換可知，f（x）=2^x-1+1和f（x）=2^x-2+2都是“下凸函數(shù)”；
∴f（x）是（-∞，+∞）上的“下凸函數(shù)”，∴該說法正確；
④f（x）是[a，b]上的“下凸函數(shù)”，且x₁，x₂，…，x₈∈[a，b]；
∴$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{8}}{8}）=f（\frac{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}+\frac{{x}_{5}+{x}_{6}+{x}_{7}+{x}_{8}}{4}}{2}）$$≤\frac{1}{2}[f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}）+f（\frac{{x}_{5}+{x}_{6}+{x}_{7}+{x}_{8}}{4}）]$=$\frac{1}{2}[f（\frac{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}+\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}}{2}）+f（\frac{\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}+\frac{{x}_{7}+{x}_{8}}{2}}{2}）]$$≤\frac{1}{4}[f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）+f（\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}）+f（\frac{{x}_{5}+{x}_{6}}{2}）+f（\frac{{x}_{7}+{x}_{8}}{2}）]$$≤\frac{1}{8}[f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{8}）]$，∴該說法正確；
∴說法正確的有3個．
故選C．

點評 考查對“下凸函數(shù)”的定義的理解，應(yīng)知道“下凸函數(shù)”的圖象的基本形狀，熟悉正切函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和$f（x）=x+\frac{1}{x}$的圖象，對于第④個說法應(yīng)會根據(jù)“下凸函數(shù)”的定義推導(dǎo)．