Question

10．函數(shù)f（x）=sin⁴x+cos⁴x的最小正周期是$\frac{π}{2}$；單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin⁴x+cos⁴x=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x
=1-$\frac{1}{2}$sin²2x
=1-$\frac{1}{2}$×$\frac{1-cos4x}{2}$
=$\frac{1}{4}$cos4x+$\frac{3}{4}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$；
又函數(shù)y=cos4x的增區(qū)間為2kπ-π≤4x≤2kπ，
即-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$，
∴函數(shù)f（x）=sin⁴x+cos⁴x的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）．
故答案為：$\frac{π}{2}$；[-$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，$\frac{kπ}{2}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．