Question

15．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，點A為橢圓C的右頂點，直線l與橢圓相交于不同于點A的兩個點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AQ}$=0時，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將點代入橢圓方程，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）分類討論．當(dāng)直線l的斜率不存在時，求得P，Q點坐標(biāo)，由$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{AQ}$=0即可求得m的值，求得丨PQ丨，即可求得△OPQ面積；
當(dāng)直線l的斜率存在，且不為0，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，弦長公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得△OPQ面積的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知：且$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\\{\frac{1}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1}\end{array}}\right.$，可得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=1}\\{c=\sqrt{3}}\end{array}}\right.$，
橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率不存在時，設(shè)l：x=m，與$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，聯(lián)立得$P（m，\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}），Q（m，-\sqrt{1-\frac{m^2}{4}}）$．
由于$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，得${（{m-2}）^2}-（{1-\frac{m^2}{4}}）=0$，解得$m=\frac{6}{5}$或m=2（舍去）．
此時$|{PQ}|=\frac{8}{5}$，△OPQ的面積為$\frac{24}{25}$…（6分）
當(dāng)直線l的斜率存在時，由題知k≠0，設(shè)l：y=kx+m，與$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$聯(lián)立，
整理得：（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0．由△＞0，得4k²-m²+1＞0；
且${x_1}+{x_2}=\frac{-8km}{{4{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-1}）}}{{4{k^2}+1}}（*）$…（7分）
由于$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，得：$（{x_1}-2）（{x_2}-2）+{y_1}{y_2}=（{k^2}+1）{x_1}{x_2}+（{km-2}）（{{x_1}+{x_2}}）+（{{m^2}+4}）=0$．
代入（*）式得：12k²+5m²+16km=0，即$m=-\frac{6}{5}k$或m=-2k（此時直線l過點A，舍去）．
$|{PQ}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{4}{{4{k^2}+1}}\sqrt{（{1+{k^2}}）（{4{k^2}-{m^2}+1}）}$，
點O到直線l的距離為：$d=\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$…（10分）
S_△OPQ=$\frac{{2|m|\sqrt{4{k^2}-{m^2}+1}}}{{4{k^2}+1}}$，將$m=-\frac{6}{5}k$代入得：${S_{△OPQ}}=\frac{12}{25}•\sqrt{\frac{{64{k^4}+25{k^2}}}{{{{（4{k^2}+1）}^2}}}}$，
令$4{k^2}+1=\frac{1}{p}$0＜p＜1，${S_{△OPQ}}=\frac{6}{25}•\sqrt{-9{p^2}-7p+16}$，由y=-9p²-7p+16，
在（0，1）上遞減，
∴0＜y＜16，故${S_{△OPQ}}∈（0，\;\;\frac{24}{25}）$，
綜上（S_△OPQ）_max=$\frac{24}{25}$…（12分）

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，函數(shù)單調(diào)性與橢圓的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．