Question

寒假期間，我市某校學生會組織部分同學，用“10分制”隨機調(diào)查“陽光花園”社區(qū)人們的幸福度，現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，如果所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）；若幸福度分數(shù)不低于8.5分，則該人的幸福度為“幸�！保�
（Ⅰ）求從這16人中隨機選取3人，至少有2人為“幸�！钡母怕�；
（Ⅱ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“幸福”的人數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）記至少有2人是“幸�！睘槭录嗀，利用間法和排列組合知識能求出至少有2人為“幸�！钡母怕剩�
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（I）記至少有2人是“幸福”為事件A，
由題意知
P（A）=1-

C 3 4

C 3 16

-

C 2 4 ×C 1 12

C 3 16

=1-

1

140

-

18

140

=

121

140

．…（6分）
（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=（

1

4

）³=

1

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

•

3

4

•(

1

4

)2=

9

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

3

4

)2(

1

4

)=

27

64

，
P（ξ=3）=（

3

4

）³=

27

64

，…（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

Eξ=

1

64

×0+

9

64

×1+

27

64

×2+

27

64

×3=

9

4

．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要注意排列組合的合理運用．