Question

已知函數(shù)f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設x∈[-

π

3

，

π

3

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)以及二倍角公式化簡函數(shù)的表達式，通過余弦函數(shù)的單調減區(qū)間以及函數(shù)的單調增區(qū)間直接求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）通過x∈[-

π

3

，

π

3

]，求出相位角的范圍，利用三角函數(shù)的值域直接求f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxcos（

π

6

-x）-

3

sin²x+sinxcosx=

3

（cos²x-sin²x）+2sinxcosx
=2cos（2x-

π

6

）…（3分）
∴令2kπ≤2x-

π

6

≤2kπ+π，k∈Z．…（4分）
⇒kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)的遞減區(qū)間是[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z；         …（5分）
令2kπ-π≤2x-

π

6

≤2kπ，…（6分）
∴函數(shù)的遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．        …（7分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴2x-

π

6

∈[-

5π

6

，

π

2

]，…（9分）
又f（x）=2cos（2x-

π

6

），
∴根據(jù)三角函數(shù)圖象可得f（x）∈[-

3

，2]．…（12分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應用，三角函數(shù)的性質的應用，考查計算能力．