Question

2．已知函數(shù)f（x）=|log₄x|，實(shí)數(shù)m、n滿足0＜m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在[m²，n]的最大值為2，則$\frac{n}{m}$=16．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的單調(diào)性判斷m，n的范圍，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得出mn=1，根據(jù)f（x）的單調(diào)性得出f（m²）=2，從而可解出m，n的值．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lo{g}_{4}x，0＜x＜1}\\{lo{g}_{4}x，x≥1}\end{array}\right.$，∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵f（m）=f（n），
∴m＜1＜n，且-log₄m=log₄n，∴mn=1．
∴m²＜m＜1，
∵f（x）在[m²，n]的最大值為2，
∴f（m²）=2，即-log₄m²=2，解得m=$\frac{1}{4}$，
∴n=4，
∴$\frac{n}{m}$=16．
故答案為：16

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．