Question

（理）已知不等式（2a-b-c）（a-c）•2ⁿ≥（a-b）（b-c）（t•2ⁿ+1）對任意a＞b＞c及n∈N恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為 （　　）

• A、（-∞，4

  2

  -1]
• B、（-∞，2+2

  2

  ]
• C、[4

  2

  -1，+∞）
• D、[2+2

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（2a-b-c）（a-c）•2ⁿ≥（a-b）（b-c）（t•2ⁿ+1）可化為

(2a-b-c)(a-c)

(a-b)(b-c)

≥（t+2^-n），問題等價于

(2a-b-c)(a-c)

(a-b)(b-c)

的最小值大于等于（t+2^-n）的最大值，利用基本不等式可得最小值，由單調(diào)性可得最大值，然后解不等式可得t．

解答： 解：（2a-b-c）（a-c）•2ⁿ≥（a-b）（b-c）（t•2ⁿ+1）可化為

(2a-b-c)(a-c)

(a-b)(b-c)

≥（t+2^-n），
∵不等式（2a-b-c）（a-c）•2ⁿ≥（a-b）（b-c）（t•2ⁿ+1）對任意a＞b＞c及n∈N恒成立，
∴

(2a-b-c)(a-c)

(a-b)(b-c)

的最小值大于等于（t+2^-n）的最大值，

(2a-b-c)(a-c)

(a-b)(b-c)

=

[(a-b)+(a-c)](a-c)

(a-b)(b-c)

=

a-c

b-c

+

(a-c)2

(a-b)(b-c)

=

(a-b)+(b-c)

b-c

+

[(a-b)+(b-c)]2

(a-b)(b-c)

=3+

a-b

b-c

+

a-b

b-c

+

b-c

a-b

=3+2•

a-b

b-c

+

b-c

a-b

≥3+2

2• a-b b-c • b-c a-b

=3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

2(a-b)

b-c

=

b-c

a-b

時取等號，
t+2^-n的最大值為t+1，
∴3+2

2

≥t+1，∴t≤2+2

2

．
故選：B．

點評：該題考查函數(shù)恒成立、基本不等式求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生綜合運用知識解決問題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度較大．