Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +acosx，g（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）若f（x）在 處的切線方程為y= ，求a的值；
（2）若a≥0且f（x）在x=0時(shí)取得最小值，求a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，當(dāng)x＞0時(shí)， ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x﹣asinx，

f′（ ）= ﹣a= ，

∴a=﹣1，經(jīng)驗(yàn)證a=﹣1合題意

（2）解：g（x）=f′（x）=x﹣asinx g′（x）=1﹣acosx

①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）= x2，顯然在x=0時(shí)取得最小值，

∴a=0合題意；

②當(dāng)a＞0時(shí)，

（i）當(dāng) ≥1即0＜a≤1時(shí)，g′（x）≥0恒成立，

∴g（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞增，又g（0）=0

∴當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0 即f′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞0 即f′（x）＞0

∴f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；

∴f（x） 在x=0時(shí)取得最小值

∴當(dāng)0＜a≤1時(shí)合題意；

（ii）當(dāng)0＜ ＜1即a＞1時(shí)，在（0，π）內(nèi)存在唯一x0=arccos 使g′（x）=0

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，

∵y=cosx在（0，π）上是單調(diào)遞減的，

∴cosx＞cosx0=

∴g′（x）=a （ ﹣cosx）＜0，

∴g（x） 在（0，x0）上單調(diào)遞減，

∴g（x）＜g（0）=0

即f′（x）＜0，

∴f（x）在（0，x0）內(nèi)單調(diào)遞減；

∴x∈（0，x0）時(shí)，f（x）＜0 這與f（x）在x=0時(shí)取得最小值即f（x）≥f（0）矛盾，

∴當(dāng)a＞1時(shí)不合題意；

綜上，a的取值范圍是0，1]

（3）解：由（1）知，a=﹣1 此時(shí)g（x）=x+sinx，g′（x）=1+cosx，

∴ = =|cos |≥cos ，

∴若要證原不等式成立，只需證cos + x2＞ 成立；

由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）≥f（0）恒成立，即 x2+cosx≥1恒成立

即cosx≥1﹣ x2（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=“號(hào)），

∴cos ≥1﹣ x2（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取“=“號(hào)） …①

∴只需證：1﹣ x2+ x2＞ 成立，即1+ x2＞ ，

又由均值不等式知：1+ x2≥x（當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取“=“號(hào)） …②

∵①②兩個(gè)不等式取“=“的條件不一致，

∴只需證：x≥ ，

兩邊取對(duì)數(shù)得：lnx≥1﹣ …③

下面證③式成立：令（x）=lnx﹣1+ ，

則′（x）= ﹣ = ，

∴（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增

∴（x）≥（1）=0，

即lnx﹣1+ ≥0，

∴l(xiāng)nx≥1﹣ ，

即③式成立，

∴原不等式成立．

【解析】（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和幾何意義即可求出，（2）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出參數(shù)的取值范圍，（3）原不等式轉(zhuǎn)化為cos + x2＞ 成立，分別根據(jù)均值不等式和導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可證明．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用基本求導(dǎo)法則和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．