Question

已知|

a

|=3，|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為60°，試求：
（1）|

a

+

b

|；
（2）

a

+

b

與

a

-

b

的夾角θ的余弦值．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角及向量的模，
（1）由|

a

|=3，|

b

|=4，

a

與

b

的夾角為60°，故

a

2=9，

b

2=16，

a

•

b

=6，代入|

a

+

b

|²=

a

²+

b

²+2

a

•

b

易得到|

a

+

b

|²的值，進(jìn)而求出|

a

+

b

|；
（2）要求

a

+

b

與

a

-

b

的夾角θ的余弦值，我們可以根據(jù)cosθ=

( a - b )•( a + b )

| a - b || a + b |

，結(jié)合（1）的結(jié)論，我們求出相應(yīng)的量，代入公式即可求解．

解答：解：（1）|

a

+

b

|²=

a

²+

b

²+2

a

•

b

（2分）
=9+16+2×3×4×cos60=37
∴|

a

+

b

|=

37

（6分）
（2）|

a

-

b

|²=

a

²+

b

²-2

a

•

b

=9+16-2×3×4×cos60°
=13
∴|

a

-

b

|=

13

（8分）
cosθ=

( a - b )•( a + b )

| a - b || a + b |

（10分）
=

9-16

37 13

=-

7 481

481

（12分）

點(diǎn)評(píng)：向量的數(shù)量積運(yùn)算中，要熟練掌握如下性質(zhì)：

a

•

a

=

a

2=|

a

|2，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ，另外cosθ=

a • b

| a |•| b |

是向量中求夾角的唯一公式，要求大家熟練掌握