已知拋物線x2=y,O為坐標原點.
(Ⅰ)過點O作兩相互垂直的弦OM,ON,設(shè)M的橫坐標為m,用n表示△OMN的面積,并求△OMN面積的最小值;
(Ⅱ)過拋物線上一點A(3,9)引圓x2+(y-2)2=1的兩條切線AB,AC,分別交拋物線于點B,C,連接BC,求直線BC的斜率.
【答案】分析:(Ⅰ)由OM⊥ON,確定M,N的坐標,表示出|OM|=,|ON|=,從而可得△OMN的面積,利用基本不等式可求△OMN面積的最小值;
(Ⅱ)設(shè)B(),C(),直線AB的方程為y-9=k1(x-3),AC的方程為y-9=k2(x-3),利用直線AB\AC與圓x2+(y-2)2=1相切,建立方程,從而可得以k1,k2 是方程4k2-21k+24=0的兩根,再聯(lián)立方程組,利用韋達定理,可得直線BC的斜率,化簡可得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)M(),N().
由OM⊥ON得,∴x1x2=-1.
因為x1=m,所以
所以|OM|=,|ON|=
所以n==××==1.
所以,當(dāng)m=1時,△OMN面積取得最小值1.
(Ⅱ)設(shè)B(),C(),直線AB的方程為y-9=k1(x-3),AC的方程為y-9=k2(x-3),
因為直線AB,AC與圓x2+(y-2)2=1相切,
所以==1.
所以,
所以k1,k2 是方程4k2-21k+24=0的兩根.
所以
由方程組得x2-k1x-9+3k1=0.
所以x3+3=k1,同理可得:x4+3=k2
所以直線BC的斜率為=x4+x3=k1+k2-6=-
點評:本題考查三角形面積的計算,考查基本不等式的運用,考查直線與圓,直線與拋物線的位置關(guān)系,考查韋達定理的運用,屬于中檔題.
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1
4
B、x=-
1
4
C、y=
1
4
D、y=-
1
4

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(Ⅱ)過拋物線上一點A(3,9)引圓x2+(y-2)2=1的兩條切線AB,AC,分別交拋物線于點B,C,連接BC,求直線BC的斜率.

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