設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．求證如果在(a，b)內(nèi)f'(x)＞0，那么f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)；如果在(a，b)內(nèi)f'(x)＜0，那么f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)．如果在(a，b)內(nèi)恒有f'(x)=0，那么f(x)在(a，b)內(nèi)是常數(shù)．

 

答案：
解析：

在區(qū)間(a，b)內(nèi)任取兩點(diǎn)x1，x3，使x1＜x3，在[x1，x3]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件，可得f(x3)－f(x1)=f'(ξ)(x3－x1)，x1＜ξ＜x3．(1)

如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)f'(x)＞0，則(1)式中f'(ξ)＞0，

而x3－x1＞0，則f(x3)－f(x1)＞0，f(x3)＞f(x1)．

這就是說(shuō)，f(x)在(a，b)內(nèi)是增函數(shù)．

如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)f'(x)＜0，則(1)式中f'(ξ)＜0，

而x3－x1＞0，則f(x3)－f1(x)＜0，f(x3)＜f(x1)．

這就是說(shuō)，f(x)在(a，b)內(nèi)是減函數(shù)．

如果在區(qū)間(a，b)內(nèi)恒有f'(x)=0，則(1)式中f'(ξ)=0，那么對(duì)任意x1，x3∈(a，b)恒有f(x3)＝f(x1)，因此f(x)在(a，b)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)．

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間［0,+∞)上連續(xù),則實(shí)數(shù)a的值為         .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上滿 足f′(x)＜0,則f(x)在［a,b］上的最小值為_(kāi)_____,最大值為_(kāi)___________.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆新課標(biāo)高三配套第四次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)＝x3＋x2－ax－a，x∈R，其中a＞0.

（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2,0)內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）當(dāng)a＝1時(shí)，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋3]上的最大值為M(t)，最小值為m(t)，記g(t)＝M(t)－m(t)，求函數(shù)g(t)在區(qū)間[－3，－1]上的最小值.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：高考真題 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+x+1，a∈R，
(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3+a x2+x+1,aR.

（Ⅰ）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間（-）內(nèi)是減函數(shù)，求α的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案