【題目】設(shè)和是雙曲線上的兩點,線段的中點為,直線不經(jīng)過坐標原點.
(1)若直線和直線的斜率都存在且分別為和,求證:;
(2)若雙曲線的焦點分別為、,點的坐標為,直線的斜率為,求由四點、、、所圍成四邊形的面積.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)法一:設(shè)不經(jīng)過點的直線方程為,與雙曲線方程聯(lián)立,利用中點坐標表示,再求;法二:利用點差法表示;
(2)先由已知求得雙曲線方程和直線的方程,由條件表示四邊形的面積;令解,利用的中點是,直接求點的坐標,再表示四邊形的面積.
(1)證明:法1:設(shè)不經(jīng)過點的直線方程為,代入雙曲線方程得:.
設(shè)坐標為,坐標為,中點坐標為,則,,
,,所以,,.
法2:設(shè)、,中點,則,且,
(1)﹣(2)得:.
因為,直線和直線的斜率都存在,所以,
等式兩邊同除以,得:,即.
(2)由已知得,求得雙曲線方程為,直線斜率為,
直線方程為,代入雙曲線方程可解得,中點坐標為.
面積.
另解:線段中點在直線上.所以由中點,可得點的坐標為,代入雙曲線方程可得,即,解得(),所以.面積.
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【題目】經(jīng)過坐標原點的兩條直線與橢圓:分別相交于點、和點、,其中直線經(jīng)過的左焦點,直線經(jīng)過的右焦點.當直線不垂直于坐標軸時,與的斜率乘積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)求四邊形面積的最大值.
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【題目】已知拋物線,圓.
(Ⅰ)是拋物線的焦點,是拋物線上的定點,,求拋物線的方程;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,過點的直線與圓相切,設(shè)直線交拋物線于,兩點,則在軸上是否存在點使?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列.
(1)若,且成等比數(shù)列,求數(shù)列的通項公式;
(2)在(1)的條件下,數(shù)列的前和為,設(shè),若對任意的,不等式恒成立,求突數(shù)的最小值:
(3)若數(shù)列中有兩項可以表示位某個整數(shù)的不同次冪,求證:數(shù)列中存在無窮多項構(gòu)成等比數(shù)列.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x+1.
(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程:
(2)若非零實數(shù)a使得f(x)axax2對x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范圍.
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【題目】將一枚質(zhì)地均勻的硬幣向上拋擲三次,下列兩個事件中,是對立事件的是( )
A.事件:“恰有兩次正面向上”,事件:“恰有兩次反面向上”
B.事件:“恰有兩次正面向上”,事件:“恰有一次正面向上”
C.事件:“至少有一次正面向上”,事件:“至多一次正面向上”
D.事件:“至少有一次正面向上”,事件:“恰有三次反面向上”
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【題目】近年來,智能手機的更新?lián)Q代極其頻繁和快速,而青少年對新事物的追求更是強烈,為了調(diào)查大學生更換手機的時間,現(xiàn)對某大學中的大學生使用一部手機的年限進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的大學生中抽取了男生、女生各人進行抽樣分析,制成如下的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計男大學生使用手機年限的中位數(shù)和女大學生使用手機年限的眾數(shù);
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,求出男大學生和女大學生使用手機年限的平均值,并分析比較男大學生和女大學生哪個群體更換手機的頻率更高.
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【題目】名學生某次數(shù)學考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如圖.
(1)求頻率分布直方圖中的值;
(2)估計總體中成績落在中的學生人數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖估計名學生數(shù)學考試成績的眾數(shù),中位數(shù).
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【題目】重慶市第八中學校為了解學生喜愛運動是否與性別有關(guān),從全校學生中隨機抽取50名學生進行問卷調(diào)查,得到如圖所示的列聯(lián)表.
喜愛運動 | 不喜愛運動 | 合計 | |
男生 | 22 | 8 | 30 |
女生 | 8 | 12 | 20 |
合計 | 30 | 20 | 50 |
附:,
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)能否有97.5%以上的把握認為“喜愛運動”與“性別”有關(guān);
(2)用分層抽樣的方法從被調(diào)查的20名女生中抽取5名進行問卷調(diào)查,求抽取喜愛運動的女生、不喜愛運動的女生各有多少的人;
(3)在(2)抽取的女生中,隨機選出2人進行座談,求至少有1名是喜愛運動的女生的概率.
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