Question

3．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項為S_n，點$（n，\frac{S_n}{n}），\;（n∈{N^*}）$均在函數(shù)$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）通過點（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）（n∈N*）均在函數(shù)$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$的圖象上，求出S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，求出通項公式；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂項求和，T_n＜$\frac{m}{20}$求得m的取值范圍，即可求得使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

解答 解：（1）∵點$（n，\frac{S_n}{n}），\;（n∈{N^*}）$均在函數(shù)$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$的圖象上，即$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n，
當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1），
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{1}{2}$n-[$\frac{1}{2}$（n-1）²+$\frac{1}{2}$（n-1）]=n，
當n=1時，a₁=1，滿足a_n=1，
即數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=n；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
要使得T_n＜$\frac{m}{20}$對所有n∈N^*都成立，
則$\frac{m}{20}$≥1
∴m≥20，
即m的最小正整數(shù)m=20．

點評 本題考查數(shù)列的求和的方法，考查“裂項法”的應(yīng)用，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．