Question

函數(shù)f(x)=log2

2-x

2+x

是（　�。�

A．遞增的奇函數(shù)

B．遞增的偶函數(shù)

C．遞減的奇函數(shù)

D．遞減的偶函數(shù)

Answer 1

分析：令

2-x

2+x

＞0 求得定義域?yàn)椋?2，2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義可得函數(shù)f(x)=log2

2-x

2+x

在它的定義域（-2，2）上是減函數(shù)．再由函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且f（-x）=-f（x），可得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，從而得出結(jié)論．

解答：解：令

2-x

2+x

＞0 可得

x-2

2+x

＜0，（x-2）（x+2）＜0，-2＜x＜2，故函數(shù)f(x)=log2

2-x

2+x

的定義域（-2，2）．
設(shè)-2＜x₁＜x₂＜2，由于f（x₁）-f（x₂）=log2

2-x1

2+x1

-log2

2-x2

2+x2

=log2(

2-x1

2+x1

•

x2+2

2-x2

)=log2(

2-x1

2-x2

•

x2+2

x1+2

)，
再由-2＜x₁＜x₂＜2可得

2-x1

2-x2

＞1，

x2+2

x1+2

＞1，∴

2-x1

2-x2

•

x2+2

x1+2

＞1，∴log2(

2-x1

2-x2

•

x2+2

x1+2

)＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)f(x)=log2

2-x

2+x

在它的定義域（-2，2）上是減函數(shù)．
再由 f(-x)=log2

2+x

2-x

=-log2

2-x

2+x

=-f（x），
可得函數(shù)f(x)=log2

2-x

2+x

在它的定義域（-2，2）上是奇函數(shù)．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷方法，屬于中檔題．