Question

5．在銳角△ABC中，A=2B，則$\frac{a}$的取值范圍是（　�。�

• A． $（0，\sqrt{2}）$
• B． $（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$
• C． $（\sqrt{3}，2）$
• D． $（\sqrt{2}，2）$

Answer 1

分析 利用正弦定理列出關(guān)系式，將A=2B代入，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，約分得到結(jié)果為2cosB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理及三角形ABC為銳角三角形，求出B的范圍，進(jìn)而確定出cosB的范圍，即可得出所求式子的范圍．

解答 解：∵A=2B，
∴根據(jù)正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$得：$\frac{a}$=$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{sin2B}{sinB}$=$\frac{2sinBcosB}{sinB}$=2cosB，
∵A+B+C=180°，
∴3B+C=180°，即C=180°-3B，
∵C為銳角，
∴30°＜B＜60°，
又0＜A=2B＜90°，
∴30°＜B＜45°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosB＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\sqrt{2}$＜2cosB＜$\sqrt{3}$，
則$\frac{a}$的取值范圍是（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故選：B．

點(diǎn)評 此題考查了正弦定理，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．