Question

已知三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，若將此三棱錐沿側(cè)棱展成平面圖形恰好可以形成一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形．

(Ⅰ)求證：頂點(diǎn)S在底面ABC的射影O是底面△ABC的垂心；

(Ⅱ)求SC與底面ABC所成的角的大�。�

Answer 1

解：(Ⅰ)作SO⊥平面ABC，連AO、BO，

因?yàn)閭?cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，易證SA⊥平面SBC、SB⊥平面SAC、SC⊥平面SAB．

所以SA⊥BC，由三垂線定理的逆定理，AO⊥BC，

同理可證BO⊥AC．所以O(shè)為高線的交點(diǎn)，即為△ABC垂心．

(Ⅱ)連CO，則∠SCO為SC與底面ABC所成的角．

由于三棱錐的展開圖成邊長(zhǎng)為a正方形，則B、C分別為SS′和SS″的中點(diǎn)，即SB=SC=，所以SA=a，AB=AC=a，BC=a．

延長(zhǎng)CO交AB于D，連接SD．因?yàn)镃O⊥AB，根據(jù)三垂線定理，SD⊥AB

在△SAB中，∠ASB=90°，SB=，SA=a，

AB=a，所以SD=a

所以tan∠SCO=tan∠SCD= 

SC與底面ABC所成的角的大小為arctan