Question

【題目】已知A、B、C是橢圓M： =1（a＞b＞0）上的三點，其中點A的坐標(biāo)為 ，BC過橢圓M的中心，且 ．
（1）求橢圓M的方程；
（2）過點（0，t）的直線l（斜率存在時）與橢圓M交于兩點P、Q，設(shè)D為橢圓M與y軸負(fù)半軸的交點，且 ，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：

∵點A的坐標(biāo)為 ，

∴ ，橢圓方程為 ①

又∵ ．，且BC過橢圓M的中心O（0，0），

∴ ．

又∵ ，

∴△AOC是以∠C為直角的等腰三角形，

易得C點坐標(biāo)為（ ， ）

將（ ， ）代入①式得b2=4

∴橢圓M的方程為

（2）解：當(dāng)直線l的斜率k=0，直線l的方程為y=t

則滿足題意的t的取值范圍為﹣2＜t＜2

當(dāng)直線l的斜率k≠0時，設(shè)直線l的方程為y=kx+t

由

得（3k2+1）x2+6ktx+3t2﹣12=0

∵直線l與橢圓M交于兩點P、Q，

∴△=（6kt）2﹣4（3k2+1）（3t2﹣12）＞0

即t2＜4+12k2 ②

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

PQ中點H（x0，y0），

則H的橫坐標(biāo) ，

縱坐標(biāo) ，

D點的坐標(biāo)為（0，﹣2）

由 ，

得DH⊥PQ，kDHkPQ=﹣1，

即 ，

即t=1+3k2． ③

∴k2＞0，∴t＞1． ④

由②③得0＜t＜4，

結(jié)合④得到1＜t＜4．

綜上所述，﹣2＜t＜4．

【解析】（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)求出a，然后根據(jù) 求出b，綜合即可求出橢圓M的方程．（2）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，與（1）中M的方程聯(lián)立，然后運用設(shè)而不求韋達定理進行計算，求出實數(shù)t的取值范圍．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．