Question

5．若直線y=k（x-2）+4與曲線y=$\sqrt{4-{x^2}}$有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是（　�。�

• A． [1，+∞）
• B． $[{-1，-\frac{3}{4}}）$
• C． $（{\frac{3}{4}，1}]$
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 由直線方程的特點(diǎn)得到此直線恒過(guò)A（2，4），由曲線方程的特點(diǎn)得到曲線為一個(gè)半圓，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的圖形，根據(jù)直線與半圓有2個(gè)交點(diǎn)，取兩個(gè)特殊情況：當(dāng)直線與半圓相切，且切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得出圓心到直線的距離等于圓的半徑，即d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，將C的坐標(biāo)代入直線方程，得到關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值，由圖象可得出滿足題意k的取值范圍．

解答 解：直線y=k（x-2）+4，
當(dāng)x=2時(shí)，y=4，可得此直線恒過(guò)A（2，4），
曲線y=$\sqrt{4-{x^2}}$為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的半圓，
根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

當(dāng)直線y=k（x-2）+4與半圓相切（切點(diǎn)在第二象限）時(shí)，圓心到直線的距離d=r，
∴$\frac{|4-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，即4k²-16k+16=4+4k²，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)直線y=k（x-2）+4過(guò)點(diǎn)C時(shí)，將x=-2，y=0代入直線方程得：-4k+4=0，
解得：k=1，
則直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)k的范圍為（$\frac{3}{4}$，1]．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小來(lái)判斷（d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑），當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＜r時(shí)，直線與圓相交．