Question

13．設(shè)a+b=2，b＞0，則當(dāng)a=-$\frac{2}{3}$時，$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}$取得最小值．

Answer 1

分析 由于a+b=2，b＞0，從而$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}$=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），設(shè)f（a）=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），畫出此函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出答案．

解答 解：∵a+b=2，b＞0，
∴$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}$=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2）
設(shè)f（a）=$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}{2-a}$，（a＜2），畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示．
利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性得，
當(dāng)a＜0時，f（a）=-$\frac{1}{8a}$+$\frac{a}{a-2}$，
f′（a）=$\frac{1}{8{a}^{2}}$-$\frac{2}{（a-2）^{2}}$=$\frac{（5a-2）（-3a-2）}{8{a}^{2}（a-2）^{2}}$，當(dāng)a＜-$\frac{2}{3}$時，f′（a）＜0，當(dāng)-$\frac{2}{3}$＜a＜0時，f′（a）＞0，
故函數(shù)在（-∞，-$\frac{2}{3}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{2}{3}$，0）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)a=-$\frac{2}{3}$時，取得最小值$\frac{5}{16}$．
同樣地，當(dāng)0＜a＜2時，得到當(dāng)a=$\frac{2}{5}$時，取得最小值$\frac{7}{16}$．
綜合，則當(dāng)a=-$\frac{2}{3}$時，$\frac{1}{8|a|}$+$\frac{|a|}$取得最小值．
故答案為：-$\frac{2}{3}$

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．