Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^a經(jīng)過點（2，），
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）求函數(shù)f（x）的定義域．
（3）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

解：（1）∵冪函數(shù)f（x）=x^a的圖象經(jīng)過點（2，），
∴=2^α，
∴α=．
∴f（x）=x，
（2）f（x）=x的定義域是[0，+∞）；
（3）此函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=-=，
由于x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，＞0，可得 ＜0，
即有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函數(shù)在定義域是增函數(shù)．
分析：（1）利用冪函數(shù)的概念，將點（2，）的坐標(biāo)代入冪函數(shù)的解析式，求得α的值，即可求得f（x）．
（2）利用冪函數(shù)的性質(zhì)寫出其定義域；
（3）此函數(shù)是一個增函數(shù)，由定義法證明要先任取x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，再兩函數(shù)值作差，判斷差的符號，再由定義得出結(jié)論．
點評：本題考查冪函數(shù)的概念及其解析式的應(yīng)用，考查冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．