Question

17．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)取一點P，則點P到點A的距離大于1的概率為1-$\frac{π}{48}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，與點A距離小于等于1的點在以A為球心，半徑為1的八分之一個球內(nèi)，計算可得其體積，易得正方體的體積；由幾何概型公式，可得點P到點A的距離小于等于1的概率，借助對立事件概率的性質(zhì)，計算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，分析可得，
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，與點A距離小于等于1的點在以A為球心，半徑為1的八分之一個球內(nèi)，
其體積為V₁=$\frac{1}{8}$×$\frac{4π}{3}$=$\frac{π}{6}$
正方體的體積為2³=8，
則點P到點A的距離小于等于1的概率為：$\frac{π}{48}$，
故點P到點A的距離大于1的概率為1-$\frac{π}{48}$，
故答案為：1-$\frac{π}{48}$．

點評 本題考查幾何概型的計算，關(guān)鍵在于掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征與正方體、球的體積公式．